ให้ μ เป็นเมเชอร์

ความเป็นฟังก์ชันทางเดียว

μ มีสมบัติเป็นฟังก์ชันทางเดียว : กำหนดให้ E1 และ E2 เป็นเซตที่หาเมเชอร์ได้ (เป็นสมาชิกใน Σ) และ E1 ⊆ E2 แล้วจะได้ว่า μ (E1) ≤ μ (E2)

เมเชอร์ของยูเนียนแบบนับได้ของเซต

กำหนดให้ E 1 , E 2 , E 3 , . . . {\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},...} เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตใน Σ จะได้ว่า

μ ( ⋃ i = 1 ∞ E i ) ≤ ∑ i = 1 ∞ μ ( E i ) {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})} .

นอกจากนั้นเรายังได้ว่า ถ้ากำหนดให้ E 1 , E 2 , E 3 , . . . {\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},...} เป็นเซตใน Σ และ E n ⊆ E n + 1 , ∀ n ∈ N {\displaystyle E_{n}\subseteq E_{n+1},\forall n\in \mathbb {N} } , แล้วจะได้ว่า ⋃ n = 1 ∞ E n {\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}} อยู่ใน Σ ด้วยและ

μ ( ⋃ i = 1 ∞ E i ) = lim i → ∞ μ ( E i ) {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})}

เมเชอร์ของอินเตอร์เซกชันแบบนับได้ของเซต

กำหนดให้ E 1 , E 2 , E 3 , . . . {\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},...} เป็นเซตใน Σ และ E n + 1 ⊆ E n , ∀ n ∈ N {\displaystyle E_{n+1}\subseteq E_{n},\forall n\in \mathbb {N} } , แล้วจะได้ว่า ⋂ n = 1 ∞ E n {\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }E_{n}} อยู่ใน Σ ด้วยและ ยิ่งไปกว่านั้น ถ้ามีสมาชิก E n {\displaystyle E_{n}} อย่างน้อยหนึ่งตัวที่มีค่าเมเชอร์จำกัด เราจะได้ว่า

μ ( ⋂ i = 1 ∞ E i ) = lim i → ∞ μ ( E i ) {\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})} .

คุณสมบัตินี้ไม่เป็นจริงถ้าไม่มีสมาชิก E n {\displaystyle E_{n}} ใด ๆ เลยที่มีเมเชอร์จำกัด (คือมีค่าเมเชอร์เป็นอนันต์ทุกตัว) ตัวอย่างเช่น ถ้าให้ n ∈ N,

E n = [ n , ∞ ) ⊆ R {\displaystyle E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} }

เราจะได้ว่าทุก ๆ E n {\displaystyle E_{n}} มีเมเชอร์อนันต์แต่ว่าอินเตอร์เซ็กชันของเซตทั้งหมดมีเมเชอร์เป็นศูนย์